Analysis Beispiele

$y = \frac{27 R}{15 R + 54}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $15 R + 54$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $27 R$ heraus.

$\frac{d}{d R} [\frac{3 (9 R)}{15 R + 54}]$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15 R$ heraus.

$\frac{d}{d R} [\frac{3 (9 R)}{3 (5 R) + 54}]$

Schritt 1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{d}{d R} [\frac{3 (9 R)}{3 (5 R) + 3 (18)}]$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (5 R) + 3 (18)$ heraus.

$\frac{d}{d R} [\frac{3 (9 R)}{3 (5 R + 18)}]$

Schritt 1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d R} [\frac{3 (9 R)}{3 (5 R + 18)}]$

Schritt 1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d R} [\frac{9 R}{5 R + 18}]$

Schritt 1.2

Da $9$ konstant bezüglich $R$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 R}{5 R + 18}$ nach $R$ gleich $9 \frac{d}{d R} [\frac{R}{5 R + 18}]$ .

$9 \frac{d}{d R} [\frac{R}{5 R + 18}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d R} [\frac{f (R)}{g (R)}]$ gleich $\frac{g (R) \frac{d}{d R} [f (R)] - f (R) \frac{d}{d R} [g (R)]}{{g (R)}^{2}}$ ist mit $f (R) = R$ und $g (R) = 5 R + 18$ .

$9 \frac{(5 R + 18) \frac{d}{d R} [R] - R \frac{d}{d R} [5 R + 18]}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d R} [R^{n}]$ gleich $n R^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \frac{(5 R + 18) \cdot 1 - R \frac{d}{d R} [5 R + 18]}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5 R + 18$ mit $1$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R \frac{d}{d R} [5 R + 18]}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 R + 18$ nach $R$ $\frac{d}{d R} [5 R] + \frac{d}{d R} [18]$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R (\frac{d}{d R} [5 R] + \frac{d}{d R} [18])}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $R$ ist, ist die Ableitung von $5 R$ nach $R$ gleich $5 \frac{d}{d R} [R]$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R (5 \frac{d}{d R} [R] + \frac{d}{d R} [18])}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d R} [R^{n}]$ gleich $n R^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R (5 \cdot 1 + \frac{d}{d R} [18])}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R (5 + \frac{d}{d R} [18])}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $18$ konstant bezüglich $R$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $R$ gleich $0$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R (5 + 0)}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.8.1

Addiere $5$ und $0$ .

$9 \frac{5 R + 18 - R \cdot 5}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$9 \frac{5 R + 18 - 5 R}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Subtrahiere $5 R$ von $5 R$ .

$9 \frac{0 + 18}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.8.4

Addiere $0$ und $18$ .

$9 \frac{18}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.8.5

Kombiniere $9$ und $\frac{18}{{(5 R + 18)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 18}{{(5 R + 18)}^{2}}$

Schritt 3.8.6

Mutltipliziere $9$ mit $18$ .

$\frac{162}{{(5 R + 18)}^{2}}$