Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{t}$ als $t^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t^{2}$ .

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - t^{2 \cdot - 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- t^{- 2} - t^{- 4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 4} t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.6

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- t^{- 2} - 2 (t^{1} t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- t^{- 2} - 2 t^{1 - 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 3.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = - 1$ und $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ als ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.7

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $t^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15

Multipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.15.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.15.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.15.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.16

Bringe $t^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ mit $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 4.20

Addiere $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7

Vereine die Terme

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Schritt 7.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$