Analysis Beispiele

$y - 3 y x^{2} = \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y - 3 y x^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 3 y x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y x^{2}]$ .

$y' - 3 \frac{d}{d x} [y x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = x^{2}$ .

$y' - 3 (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - 3 (y (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' - 3 (y (2 x) + x^{2} y')$

Schritt 2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' - 3 (2 y x + x^{2} y')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' - 3 (2 y x) - 3 (x^{2} y')$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y' - 6 y x - 3 x^{2} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- 6 x y - 3 x^{2} y' + y'$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 6 x y - 3 x^{2} y' + y' = - \sin (x)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $6 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} y' + y' = - \sin (x) + 6 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 x^{2} y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 x^{2} y'$ heraus.

$y' (- 3 x^{2}) + y' = - \sin (x) + 6 x y$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 3 x^{2}) + y' = - \sin (x) + 6 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 3 x^{2}) + y' \cdot 1 = - \sin (x) + 6 x y$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 x^{2}) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 3 x^{2} + 1) = - \sin (x) + 6 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 x^{2} + 1) = - \sin (x) + 6 x y$ durch $- 3 x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 x^{2} + 1) = - \sin (x) + 6 x y$ durch $- 3 x^{2} + 1$ .

$\frac{y' (- 3 x^{2} + 1)}{- 3 x^{2} + 1} = \frac{- \sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 x^{2} + 1)}{- 3 x^{2} + 1} = \frac{- \sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x)}{- 3 x^{2} + 1} + \frac{6 x y}{- 3 x^{2} + 1}$