Analysis Beispiele

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Schritt 2

Bringe ${(1 - t)}^{- 2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 2}$ und $g (t) = 1 - t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Schritt 4

Multipliziere ${(1 - t)}^{2}$ mit ${(1 - t)}^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege ${(1 - t)}^{- 3}$ .

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Schritt 4.3

Addiere $- 3$ und $2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Schritt 6

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Schritt 7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - t)}^{- 1}$ .

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{1 - t}$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 - t}$ .

$\frac{2}{1 - t}$