Analysis Beispiele

$y = \arctan (\sqrt{6 t})$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 t}$ als ${(6 t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 t$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $6 (t)$ an.

$\frac{d}{d t} [\arctan (6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \arctan (t)$ und $g (t) = 6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $6^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Kombiniere $6^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ mit $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 11.2

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende die Produktregel auf $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2})) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4

Vereine die Terme

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 12.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 12.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{1}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5

Vereinfache.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.7

Multipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.4.7.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Schritt 12.4.7.2

Mutltipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 12.4.7.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Schritt 12.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 12.4.7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.6.1

Faktorisiere $2 t^{\frac{1}{2}}$ aus $12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 12.6.1.1

Faktorisiere $2 t^{\frac{1}{2}}$ aus $12 t^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.6.1.2

Faktorisiere $2 t^{\frac{1}{2}}$ aus $2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)}$

Schritt 12.6.1.3

Faktorisiere $2 t^{\frac{1}{2}}$ aus $2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)$ heraus.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Schritt 12.6.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{1} + 1)}$

Schritt 12.6.3

Vereinfache.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t + 1)}$