Analysis Beispiele

$y = (\sqrt{x} + 1) e^{- 2 x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ und $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 4.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $(x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]$

Schritt 4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Um $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Kombiniere $- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} (2 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} + 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1) e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x}) x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.4.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.4.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- 4 x^{1} e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4.2

Vereinfache $- 4 x^{1} e^{- 2 x}$ .

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 \cdot 1 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{- 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.6

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 16.6.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 4 e^{- 2 x} x$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) - 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}} + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.6.2

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 4 e^{- 2 x} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.6.3

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.6.4

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (- 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.6.5

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- 2 x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- 4 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - (4 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.12

Schreibe $- (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ als $- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)$ um.

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 2 x} (4 x + 4 x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$