Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ nicht definiert ist.

$x < 0, x = 4$

Schritt 2

Da $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von links und $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von rechts, dann ist $x = 4$ eine vertikale Asymptote.

$x = 4$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.4.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.10.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

Schritt 3.10.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Schritt 3.10.2.4

Addiere $1 + 0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 3.10.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 3.10.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 4$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7