Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.2.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $2$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $2$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.2.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.2.3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.2.3.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.2.3.2.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 3.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.1.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.1.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Schritt 3.1.1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{x} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3.5

Addiere $2 e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Schritt 3.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Schritt 3.1.3.9

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 3.1.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$2$

Schritt 4

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 4.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 4.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 4.2

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Schritt 4.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 4.4

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Schritt 4.5.2.1.3

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Schritt 4.5.2.3

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$- 6$

Schritt 5

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 2, - 6$

Schritt 6

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 2, - 6$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8