Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ nicht definiert ist.

$x = \ln (9)$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Schritt 2.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Schritt 2.2.1.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Schritt 2.2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 2.2.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 2.2.1.3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.2.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

Schritt 2.2.1.3.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

Schritt 2.2.1.3.3.2.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.3.3.2.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.3.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Schritt 2.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Schritt 2.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Schritt 2.2.3.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Schritt 2.2.3.6

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 lim_{x \to \infty} 1$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Schritt 3.2

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

Schritt 3.4

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $0$ an.

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.5.1

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $0 - 1 \cdot 9$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

Schritt 3.5.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 9$ heraus.

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

Schritt 3.5.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0) - 1 (9)$ heraus.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

Schritt 3.5.2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $0$ heraus.

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

Schritt 3.5.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $- 1 (0 + 9)$ heraus.

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Schritt 3.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Schritt 3.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\frac{0}{- 1})$

Schritt 3.5.2.4

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Schritt 3.5.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 2, 0$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \ln (9)$

Horizontale Asymptoten: $y = 2, 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7