Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ nicht definiert ist.

$x = - 1, x = 1$

Schritt 2

Da $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von links und $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von rechts, dann ist $x = - 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 1$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 6.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

Schritt 6.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$1$

Schritt 6.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Schritt 6.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 6.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 6.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$

Schritt 6.7

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$	+	$1$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + \frac{1}{x + 1}$

Schritt 6.9

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$x + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.10

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x$

Schritt 8