Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $7$ von $6$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{6}{7}$ und ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$\frac{6 {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.1.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 = 0$

Schritt 2.3

Da $6 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x + 2)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 \sqrt[7]{x + 2} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $7$ . Potenz.

${(7 \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ an.

$7^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $7$ mit $7$ .

$823543 {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$823543 {(x + 2)}^{1} = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$823543 (x + 2) = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$823543 x + 823543 \cdot 2 = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $823543$ mit $2$ .

$823543 x + 1647086 = 0^{7}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$823543 x + 1647086 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $1647086$ von beiden Seiten der Gleichung.

$823543 x = - 1647086$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $823543 x = - 1647086$ durch $823543$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $823543 x = - 1647086$ durch $823543$ .

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $823543$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1647086}{823543}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 1647086$ durch $823543$ .

$x = - 2$

Schritt 4

Werte ${(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${((- 2) + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0^{\frac{6}{7}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{7}$ um.

${(0^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Schritt 4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{6}$

Schritt 4.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 0)$

Schritt 5