Analysis Beispiele

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.4.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.4.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Schritt 3.6.1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2 + 0}}$

Schritt 3.6.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.6.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.6.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.6.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 4.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.4.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Schritt 4.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Schritt 4.6.1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2 + 0}}$

Schritt 4.6.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2}}$

Schritt 4.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.6.4

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.6.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.6.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.6.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.6.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.6.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 8