Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ um.

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1 - e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{x}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $y (1 - e^{x})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

Schritt 3.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $y e^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

Schritt 4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} + y e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $y e^{x}$ heraus.

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ heraus.

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} (1 + y) = y - 1$ durch $1 + y$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} (1 + y) = y - 1$ durch $1 + y$ .

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

Schritt 4.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Schritt 4.6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.6.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Schritt 4.6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$