Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{x^{2} + 9} = y$ um.

$\frac{x}{x^{2} + 9} = y$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2} + 9, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x^{2} + 9, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2} + 9$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x^{2} + 9} = y$ mit $x^{2} + 9$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x^{2} + 9} = y$ mit $x^{2} + 9$ .

$\frac{x}{x^{2} + 9} (x^{2} + 9) = y (x^{2} + 9)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 9$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x^{2} + 9} (x^{2} + 9) = y (x^{2} + 9)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = y (x^{2} + 9)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y x^{2} + y \cdot 9$

Schritt 3.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = y x^{2} + 9 y$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $y x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y x^{2} = 9 y$

Schritt 4.2

Subtrahiere $9 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - y x^{2} - 9 y = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = - y$ , $b = 1$ und $c = - 9 y$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- y \cdot (- 9 y))}}{2 (- y)}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Schreibe $- 4 y \cdot (- 9 y)$ als ${(6 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - {(6 y)}^{2}}}{2 (- y)}$

Schritt 4.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 6 y$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - (6 y))}}{2 (- y)}$

Schritt 4.5.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 (- y)}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{- 2 y}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{- 2 y}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

$x = \frac{1 - \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

$x = \frac{1 + \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$

$x = \frac{1 - \sqrt{(1 + 6 y) (1 - 6 y)}}{2 y}$