Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x^{2} - 5 x - 14}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x^{2} - 5 x - 14} = y$ um.

$\sqrt{x^{2} - 5 x - 14} = y$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} - 5 x - 14}}^{2} = y^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 5 x - 14}$ als ${(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 5 x - 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 5 x - 14)}^{1} = y^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 5 x - 14 = y^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x - 14 - y^{2} = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = - 14 - y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 14 - y^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 14 - y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 14 - y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 14 - 4 (- y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 14$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56 - 4 (- y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56 + 4 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Addiere $25$ und $56$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

$x = \frac{5 - \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

$x = \frac{5 + \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$

$x = \frac{5 - \sqrt{81 + 4 y^{2}}}{2}$