Analysis Beispiele

$y = \ln (\frac{x}{x - 1})$

Schritt 1

Multipliziere die Gleichung mit $x - 1$ .

$(x - 1) (y) = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $(x - 1) (y)$ .

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x y - 1 y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$x y - y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x + \ln (\frac{x}{x - 1}) \cdot - 1$

Schritt 3.1.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - 1 \cdot \ln (\frac{x}{x - 1})$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 1 \ln (\frac{x}{x - 1})$ als $- \ln (\frac{x}{x - 1})$ um.

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Schritt 3.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$ um.

$x y - y = x \ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- x \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x}{x - 1}) = - x y + y$

Schritt 5

Schreibe die Gleichung als $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ um.

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$

Schritt 6

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x}{x - 1})} = e^{y}$

Schritt 7

Schreibe $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{y} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere die Gleichung mit $x - 1$ .

$(x - 1) (e^{y}) = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $(x - 1) (e^{y})$ .

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Schritt 8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x e^{y} - 1 e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe $- 1 e^{y}$ als $- e^{y}$ um.

$x e^{y} - e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x e^{y} - e^{y} = \frac{x}{x - 1} (x - 1)$

Schritt 8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x e^{y} - e^{y} = x$

Schritt 8.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x e^{y} - e^{y} - x = 0$

Schritt 8.4.2

Addiere $e^{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x e^{y} - x = e^{y}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x e^{y} - x$ heraus.

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Schritt 8.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x e^{y}$ heraus.

$x (e^{y}) - x = e^{y}$

Schritt 8.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x (e^{y}) + x \cdot - 1 = e^{y}$

Schritt 8.4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (e^{y}) + x \cdot - 1$ heraus.

$x (e^{y} - 1) = e^{y}$

Schritt 8.4.4

Teile jeden Ausdruck in $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ durch $e^{y} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ durch $e^{y} - 1$ .

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Schritt 8.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y} - 1$ .

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Schritt 8.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Schritt 8.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$