Analysis Beispiele

$lim_{x \to 7} \sqrt{x^{2} + 8 x + 16}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 7} x^{2} + 8 x + 16}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 7} x^{2} + lim_{x \to 7} 8 x + lim_{x \to 7} 16}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} + lim_{x \to 7} 8 x + lim_{x \to 7} 16}$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 16}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\sqrt{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} + 8 lim_{x \to 7} x + 16}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $7$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\sqrt{7^{2} + 8 lim_{x \to 7} x + 16}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\sqrt{7^{2} + 8 \cdot 7 + 16}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{49 + 8 \cdot 7 + 16}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$\sqrt{49 + 56 + 16}$

Schritt 7.3

Addiere $49$ und $56$ .

$\sqrt{105 + 16}$

Schritt 7.4

Addiere $105$ und $16$ .

$\sqrt{121}$

Schritt 7.5

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$\sqrt{11^{2}}$

Schritt 7.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$11$