Analysis Beispiele

$z^{3} + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{3} = - 1$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z^{3} + 1 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$z^{3} + 1^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = z$ und $b = 1$ .

$(z + 1) (z^{2} - z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(z + 1) (z^{2} - z + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(z + 1) (z^{2} - z + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z + 1 = 0$

$z^{2} - z + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $z + 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $z + 1$ gleich $0$ .

$z + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 1$

Schritt 6

Setze $z^{2} - z + 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $z^{2} - z + 1$ gleich $0$ .

$z^{2} - z + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $z^{2} - z + 1 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$z = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$z = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$z = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$z = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z + 1) (z^{2} - z + 1) = 0$ wahr machen.

$z = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$