Analysis Beispiele

$x^{4} - 8 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 8 u - 12 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $64$ und $48$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $112$ als $4^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{7}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 4 + 2 \sqrt{7}, 4 - 2 \sqrt{7}$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 9.29150262$

${(x^{2})}^{1} = - 1.29150262$

Schritt 7

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 9.29150262$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9.29150262}$

Schritt 8.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{9.29150262}$

Schritt 8.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{9.29150262}$

Schritt 8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{9.29150262}, - \sqrt{9.29150262}$

Schritt 9

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 1.29150262$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 1.29150262$

Schritt 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.29150262}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1.29150262}$ .

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Schritt 10.3.1

Schreibe $- 1.29150262$ als $- 1 (1.29150262)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.29150262)}$

Schritt 10.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (1.29150262)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.29150262}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.29150262}$

Schritt 10.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{1.29150262}$

Schritt 10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{1.29150262}$

Schritt 10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{1.29150262}$

Schritt 10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{1.29150262}, - i \sqrt{1.29150262}$

Schritt 11

Die Lösung von $x^{4} - 8 x^{2} - 12 = 0$ ist $x = \sqrt{9.29150262}, - \sqrt{9.29150262}, i \sqrt{1.29150262}, - i \sqrt{1.29150262}$ .

$x = \sqrt{9.29150262}, - \sqrt{9.29150262}, i \sqrt{1.29150262}, - i \sqrt{1.29150262}$