Analysis Beispiele

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $3 \sin^{2} (x)$ durch $3 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 9

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 12

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 12.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 13.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 13.4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 13.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 13.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 13.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 13.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 13.4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 15.1

Führe $\frac{π}{6} + 2 π n$ und $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15.2

Führe $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $(0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 16.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + π (0)$

Schritt 16.1.2

Vereinfache.

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Schritt 16.1.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 16.1.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 16.1.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 16.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Schritt 16.2.2

Vereinfache.

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Schritt 16.2.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Schritt 16.2.2.2

Addiere $\frac{5 π}{6}$ und $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 16.2.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 16.3

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.3.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + π (1)$

Schritt 16.3.2

Vereinfache.

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Schritt 16.3.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Schritt 16.3.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 16.3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.3.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Schritt 16.3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Schritt 16.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.3.2.4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Schritt 16.3.2.4.2

Addiere $π$ und $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Schritt 16.3.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Schritt 16.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 16.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Schritt 16.4.2

Vereinfache.

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Schritt 16.4.2.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Schritt 16.4.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 16.4.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.4.2.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Schritt 16.4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Schritt 16.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.4.2.4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Schritt 16.4.2.4.2

Addiere $5 π$ und $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 16.4.3

Das Intervall $(0, 2 π)$ enthält $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$