Analysis Beispiele

$y = \frac{- 8 z - 6}{9 z - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = - 8 z - 6$ und $g (z) = 9 z - 3$ .

$\frac{(9 z - 3) \frac{d}{d z} [- 8 z - 6] - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 z - 6$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [- 8 z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ .

$\frac{(9 z - 3) (\frac{d}{d z} [- 8 z] + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 8 z$ nach $z$ gleich $- 8 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 + 0) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $- 8$ und $0$ .

$\frac{(9 z - 3) \cdot - 8 - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $9 z - 3$ .

$\frac{- 8 \cdot (9 z - 3) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 z - 3$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [9 z] + \frac{d}{d z} [- 3]$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (\frac{d}{d z} [9 z] + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $9$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $9 z$ nach $z$ gleich $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 + 0)}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) \cdot 9}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - 9 (- 8 z - 6)}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 8 (9 z) - 8 \cdot - 3 - 9 (- 8 z - 6)}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 8 (9 z) - 8 \cdot - 3 - 9 (- 8 z) - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 8$ .

$\frac{- 72 z - 8 \cdot - 3 - 9 (- 8 z) - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$\frac{- 72 z + 24 - 9 (- 8 z) - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 9$ .

$\frac{- 72 z + 24 + 72 z - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 6$ .

$\frac{- 72 z + 24 + 72 z + 54}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 72 z + 24 + 72 z + 54$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 72 z$ und $72 z$ .

$\frac{0 + 24 + 54}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $0$ und $24$ .

$\frac{24 + 54}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $24$ und $54$ .

$\frac{78}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9 z - 3$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 z$ heraus.

$\frac{78}{{(3 (3 z) - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{78}{{(3 (3 z) + 3 (- 1))}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 z) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{78}{{(3 (3 z - 1))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $3 (3 z - 1)$ an.

$\frac{78}{3^{2} {(3 z - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{78}{9 {(3 z - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $78$ und $9$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $78$ heraus.

$\frac{3 (26)}{9 {(3 z - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 {(3 z - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (26)}{3 (3 {(3 z - 1)}^{2})}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 26}{3 (3 {(3 z - 1)}^{2})}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{26}{3 {(3 z - 1)}^{2}}$