Analysis Beispiele

$y = 2 x - x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 2 x$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 2 x$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e = 1$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 1)}^{2} + 1$ ein.

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 1$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, \frac{3}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, 1)$

Brennpunkt: $(1, \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, 1)$

Brennpunkt: $(1, \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 0 + 2 (0)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1)$

Schritt 2.5.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1)$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1)$

Schritt 2.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f (- 1) = - 3$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- 3$ .

$y = - 3$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2)$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2)$

Schritt 2.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 4 + 4$

Schritt 2.8.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (2) = 0$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3)$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3)$

Schritt 2.11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (3) = - 9 + 6$

Schritt 2.11.2

Addiere $- 9$ und $6$ .

$f (3) = - 3$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- 3$ .

$y = - 3$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, 1)$

Brennpunkt: $(1, \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Schritt 4