Analysis Beispiele

$y = x^{2} e^{x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $x^{2} e^{x}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Schreibe $x^{2} e^{x}$ als $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}}$

Schritt 3.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 3.2.1.2

Der Grenzwert eines Polynoms geradzahligen Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, bei minus unendlich, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 3.2.1.3

Da der Exponent $- x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 3.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 3.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1}$

Schritt 3.2.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Schritt 3.2.3.8

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}}$

Schritt 3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Schritt 3.4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 3.4.1.2

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 3.4.1.3

Da der Exponent $- x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $\infty$ an.

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.4.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 3.4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 3.4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 3.4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Schritt 3.4.3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Schritt 3.4.3.8

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 3.6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{- x}}$ $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Schritt 3.7

Multipliziere $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7