Analysis Beispiele

$y = \sqrt{49 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{49 - x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $7 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Setze $7 + x$ gleich $0$ .

$7 + x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 1.2.3

Setze $7 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $7 - x$ gleich $0$ .

$7 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $7 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 7, 7$

Schritt 1.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 1.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 1.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Die linke Seite $- 51$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Die linke Seite $49$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 1.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.3.3

Die linke Seite $- 51$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 \leq x \leq 7$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 7, 7]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Intervallschreibweise:

$[- 7, 7]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 - (- 7))}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 + 7)}$

Schritt 2.2.4

Addiere $7$ und $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 \cdot 14}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $14$ .

$f (- 7) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 7) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 7) = 0$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Schritt 2.4.2

Addiere $7$ und $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - (7))}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - 7)}$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 \cdot 0}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $14$ mit $0$ .

$f (7) = \sqrt{0}$

Schritt 2.4.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (7) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (7) = 0$

Schritt 2.4.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- 7, 0), (7, 0)$ .

$(- 7, 0), (7, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 5$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 5, 2 \sqrt{6})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 - (- 5))}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 + 5)}$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $7$ und $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f (- 5) = \sqrt{24}$

Schritt 4.1.2.6

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.1.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$f (- 5) = \sqrt{4 (6)}$

Schritt 4.1.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 5) = 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.1.2.8

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, 2 \sqrt{10})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 - (- 3))}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 + 3)}$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $7$ und $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 \cdot 10}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$f (- 3) = \sqrt{40}$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$f (- 3) = \sqrt{4 (10)}$

Schritt 4.2.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 4.2.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 3) = 2 \sqrt{10}$

Schritt 4.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 4 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 - (- 1))}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 + 1)}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $7$ und $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 \cdot 8}$

Schritt 4.3.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{48}$

Schritt 4.3.2.6

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$f (- 1) = \sqrt{16 (3)}$

Schritt 4.3.2.6.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (- 1) = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 1) = 4 \sqrt{3}$

Schritt 4.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, 2 \sqrt{10})$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $7$ und $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - (3))}$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - 3)}$

Schritt 4.4.2.4

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$f (3) = \sqrt{10 \cdot 4}$

Schritt 4.4.2.5

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f (3) = \sqrt{40}$

Schritt 4.4.2.6

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.4.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$f (3) = \sqrt{4 (10)}$

Schritt 4.4.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 4.4.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (3) = 2 \sqrt{10}$

Schritt 4.4.2.8

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Schritt 4.5

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, 2 \sqrt{6})$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $7$ und $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - (5))}$

Schritt 4.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - 5)}$

Schritt 4.5.2.4

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$f (5) = \sqrt{12 \cdot 2}$

Schritt 4.5.2.5

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f (5) = \sqrt{24}$

Schritt 4.5.2.6

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.5.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$f (5) = \sqrt{4 (6)}$

Schritt 4.5.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 4.5.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (5) = 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.5.2.8

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Schritt 4.6

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 7, 0), (7, 0), (- 5, 4.9), (- 3, 6.32), (- 1, 6.93), (1, 6.93), (3, 6.32), (5, 4.9)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 5 & 4.9 \\ - 3 & 6.32 \\ - 1 & 6.93 \\ 1 & 6.93 \\ 3 & 6.32 \\ 5 & 4.9 \\ 7 & 0 \end{array}$

Schritt 5