Analysis Beispiele

$x = y^{2} - 5 y$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 5 y$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{13}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Brennpunkt: $(- 6, \frac{5}{2})$

Symmetrieachse: $y = \frac{5}{2}$

Leitlinie: $x = - \frac{13}{2}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Brennpunkt: $(- 6, \frac{5}{2})$

Symmetrieachse: $y = \frac{5}{2}$

Leitlinie: $x = - \frac{13}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $- 5.25$ in $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 5.25, 3.5)$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Subtrahiere $21$ von $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Schritt 2.1.2.1.5

Addiere $5$ und $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $2$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $7$ als $1 (7)$ um.

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Schritt 2.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 2.1.3

Konvertiere $\frac{7}{2}$ nach Dezimal.

$= 3.5$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $- 5.25$ in $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 5.25, 1.5)$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Subtrahiere $21$ von $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Schritt 2.2.2.1.6

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $2$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $3$ als $1 (3)$ um.

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.2.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Schritt 2.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Schritt 2.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.3

Konvertiere $\frac{3}{2}$ nach Dezimal.

$= 1.5$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $- 4.25$ in $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Subtrahiere $17$ von $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $- 4.25$ in $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Subtrahiere $17$ von $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Schritt 2.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Brennpunkt: $(- 6, \frac{5}{2})$

Symmetrieachse: $y = \frac{5}{2}$

Leitlinie: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Schritt 4