Analysis Beispiele

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 2$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Schritt 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$x \geq - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Schritt 2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

Schritt 2.2.5.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

Schritt 2.2.6

Multipliziere $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Schritt 2.4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Schritt 2.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Schritt 2.4.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Schritt 2.4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.4.3.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\sqrt{2}) = 0$

Schritt 2.4.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

Schritt 4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Schritt 5