Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 5)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 1.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + 2 i$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - 2 i$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 5)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1 - 2 \cdot 1 + 5)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (1 - 2 + 5)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = \ln (- 1 + 5)$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (1) = \ln (4)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (4)$ nach Dezimal.

$y = 1.38629436$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 5)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (4 - 2 \cdot 2 + 5)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (4 - 4 + 5)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (2) = \ln (0 + 5)$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$f (2) = \ln (5)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (5)$ nach Dezimal.

$y = 1.60943791$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 5)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \ln (9 - 2 \cdot 3 + 5)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (9 - 6 + 5)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$f (3) = \ln (3 + 5)$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $3$ und $5$ .

$f (3) = \ln (8)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (8)$ nach Dezimal.

$y = 2.07944154$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$ und den Punkten $(1, 1.38629436), (2, 1.60943791), (3, 2.07944154)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 1 + 2 i, x = 1 - 2 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.386 \\ 2 & 1.609 \\ 3 & 2.079 \end{array}$

Schritt 6