Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = x \sqrt{16 - x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $4 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Setze $4 + x$ gleich $0$ .

$4 + x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.3

Setze $4 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $4 - x$ gleich $0$ .

$4 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $4 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 1.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 1.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 1.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 1.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq 4$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Intervallschreibweise:

$[- 4, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 + 4)}$

Schritt 2.2.4

Addiere $4$ und $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 \cdot 8}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0}$

Schritt 2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.7

Multipliziere mit null.

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Schritt 2.2.7.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 4) = - 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (- 4) = 0$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ und $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - (4))}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - 4)}$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 \cdot 0}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0}$

Schritt 2.4.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (4) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.7

Multipliziere mit null.

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Schritt 2.4.7.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (4) = 0$

Schritt 2.4.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, - 3 \sqrt{7})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $4 - (- 3)$ mit $1$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 - (- 3)}$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 + 3}$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $4$ und $3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{7}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3 \sqrt{7}$ .

$y = - 3 \sqrt{7}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, - 4 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 + 2)}$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $4$ und $2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 6}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{12}$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (3)}$

Schritt 4.2.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.2.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{3})$

Schritt 4.2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 4 \sqrt{3}$ .

$y = - 4 \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - \sqrt{15})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 + 1)}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $4$ und $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 \cdot 5}$

Schritt 4.3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{15}$

Schritt 4.3.2.6

Schreibe $- 1 \sqrt{15}$ als $- \sqrt{15}$ um.

$f (- 1) = - \sqrt{15}$

Schritt 4.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{15}$ .

$y = - \sqrt{15}$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 0)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 - (0))}$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 + 0)}$

Schritt 4.4.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 \cdot 4}$

Schritt 4.4.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

Schritt 4.4.2.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.4.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 \cdot 4$

Schritt 4.4.2.8

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.4.2.9

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.5

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \sqrt{15})$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Schritt 4.5.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Schritt 4.5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Schritt 4.5.2.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Schritt 4.5.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Schritt 4.5.2.7

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Schritt 4.6

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 4 \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.6.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Schritt 4.6.2.2

Addiere $4$ und $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - (2))}$

Schritt 4.6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - 2)}$

Schritt 4.6.2.4

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

Schritt 4.6.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{12}$

Schritt 4.6.2.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.6.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (2) = 2 \sqrt{4 (3)}$

Schritt 4.6.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 4.6.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2) = 2 (2 \sqrt{3})$

Schritt 4.6.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{3}$

Schritt 4.6.2.9

Die endgültige Lösung ist $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Schritt 4.7

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, 3 \sqrt{7})$ .

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Schritt 4.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.7.2.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Schritt 4.7.2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - (3))}$

Schritt 4.7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - 3)}$

Schritt 4.7.2.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7}$

Schritt 4.7.2.6

Die endgültige Lösung ist $3 \sqrt{7}$ .

$y = 3 \sqrt{7}$

Schritt 4.8

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, - 7.94), (- 2, - 6.93), (- 1, - 3.87), (0, 0), (1, 3.87), (2, 6.93), (3, 7.94)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 7.94 \\ - 2 & - 6.93 \\ - 1 & - 3.87 \\ 0 & 0 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 6.93 \\ 3 & 7.94 \\ 4 & 0 \end{array}$

Schritt 5