Analysis Beispiele

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Schritt 1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 = x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} = - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Schritt 2.2

Addiere $5 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} = - 4 x + 4 y - 6$

Schritt 2.3

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x = 4 y - 6$

Schritt 2.4

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Schritt 2.5

Subtrahiere $30$ von $9$ .

$- 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Schritt 2.6

Addiere $- 6 y^{2}$ und $5 y^{2}$ .

$- y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Schritt 2.7

Addiere $- 4 y$ und $y$ .

$- y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Schritt 2.8

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$- y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Schritt 2.9

Subtrahiere $4 y$ von $- 6 y$ .

$- y^{2} - 10 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Schritt 2.10

Addiere $- 21$ und $17$ .

$- y^{2} - 10 y + 10 x - 4 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Schritt 2.11

Addiere $10 x$ und $4 x$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 4 - 60 - x^{2} = - 6$

Schritt 2.12

Subtrahiere $60$ von $- 4$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 64 - x^{2} = - 6$

Schritt 2.13

Bewege $- 64$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - x^{2} - 64 = - 6$

Schritt 2.14

Bewege $- 10 y$ .

$- y^{2} + 14 x - x^{2} - 10 y - 64 = - 6$

Schritt 2.15

Bewege $14 x$ .

$- y^{2} - x^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Schritt 2.16

Stelle $- y^{2}$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die keine Variable enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = - 6 + 64$

Schritt 3.2

Addiere $- 6$ und $64$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = 58$

Schritt 4

Teile beide Seiten der Gleichung durch $- 1$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 14 x$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 7}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$d = - 7$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $196$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$e = 0 - 49$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $49$ von $0$ .

$e = - 49$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 7)}^{2} - 49$ ein.

${(x - 7)}^{2} - 49$

Schritt 6

Setze ${(x - 7)}^{2} - 49$ für $x^{2} - 14 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 10 y = - 58$

Schritt 7

Bringe $- 49$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $49$ auf beiden Seiten.

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 58 + 49$

Schritt 8

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 10 y$ an.

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Schritt 8.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Schritt 8.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 8.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 8.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 8.3.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 8.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 8.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Schritt 8.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Schritt 8.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Schritt 8.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$e = 0 - 25$

Schritt 8.4.2.2

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$e = - 25$

Schritt 8.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 5)}^{2} - 25$ ein.

${(y + 5)}^{2} - 25$

Schritt 9

Setze ${(y + 5)}^{2} - 25$ für $y^{2} + 10 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 58 + 49$

Schritt 10

Bringe $- 25$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $25$ auf beiden Seiten.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 58 + 49 + 25$

Schritt 11

Vereinfache $- 58 + 49 + 25$ .

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Schritt 11.1

Addiere $- 58$ und $49$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 25$

Schritt 11.2

Addiere $- 9$ und $25$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$

Schritt 12

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 13

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 4$

$h = 7$

$k = - 5$

Schritt 14

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(7, - 5)$

Schritt 15

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(7, - 5)$

Radius: $4$

Schritt 16