Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ , $x = 1$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 10 x + 0$

Schritt 3.2

Addiere $4 x^{3} - 10 x$ und $0$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} - 10 \cdot 1$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 10 \cdot 1$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 10 \cdot 1$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$4 - 10$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$- 6$