Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} + 6 x - 11$ , $x = - 2$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 2$ für $x$ ein.

$y = 5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$

Schritt 1.2

Vereinfache $5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = 5 \cdot 4 + 6 (- 2) - 11$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$y = 20 + 6 (- 2) - 11$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$y = 20 - 12 - 11$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $20$ .

$y = 8 - 11$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $11$ von $8$ .

$y = - 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 6 x - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$10 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 x + 6 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $10 x + 6$ und $0$ .

$10 x + 6$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$10 (- 2) + 6$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$- 20 + 6$

Schritt 2.6.2

Addiere $- 20$ und $6$ .

$- 14$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 14$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 3) = - 14 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 14 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 - 14 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = - 14 x - 14 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$y + 3 = - 14 x - 28$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 14 x - 28 - 3$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 28$ .

$y = - 14 x - 31$

Schritt 4