Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} - 2 x$ , $(- 1, 5)$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung der Funktion. Um die Steigung der Gleichung, die die Gerade berührt, zu ermitteln, berechne die Ableitung beim gewünschten Wert von $x$ .

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 2 x)$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 2 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$6 x - 2$

Schritt 5

Die Ableitung der Gleichung als Funktion von $y$ kann ebenso durch $f' (x)$ wiedergegeben werden.

$f' (x) = 6 x - 2$

Schritt 6

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 (- 1) - 2$

Schritt 7

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 - 2$

Schritt 8

Subtrahiere $2$ von $- 6$ .

$f' (- 1) = - 8$

Schritt 9

Die Ableitung bei $(- 1, 5)$ is $- 8$ .

$- 8$