Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} - 9 x + 7$ , $(2, 1)$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung der Funktion. Um die Steigung der Gleichung, die die Gerade berührt, zu ermitteln, berechne die Ableitung beim gewünschten Wert von $x$ .

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 9 x + 7)$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 9 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$6 x - 9 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 9 + 0$

Schritt 5.2

Addiere $6 x - 9$ und $0$ .

$6 x - 9$

Schritt 6

Die Ableitung der Gleichung als Funktion von $y$ kann ebenso durch $f' (x)$ wiedergegeben werden.

$f' (x) = 6 x - 9$

Schritt 7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 6 (2) - 9$

Schritt 8

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f' (2) = 12 - 9$

Schritt 9

Subtrahiere $9$ von $12$ .

$f' (2) = 3$

Schritt 10

Die Ableitung bei $(2, 1)$ is $3$ .

$3$