Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.10

Schreibe $- (x^{2} - 2 x - 4)$ als $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.3.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.3.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1 + \sqrt{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1 + \sqrt{5}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $0$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.1.2.2.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.1.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.1.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.3.3

Addiere $\sqrt{5}$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.1.2.2.4

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

Schritt 4.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 - 2 \sqrt{5}$ und $80$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

Schritt 4.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Schritt 4.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Schritt 4.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

Schritt 4.1.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Schritt 4.1.2.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

Schritt 4.1.2.10.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

Schritt 4.1.2.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

Schritt 4.1.2.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

Schritt 4.1.2.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.11.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.1.2.11.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

Schritt 4.1.2.11.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

Schritt 4.1.2.11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Schritt 4.1.2.11.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.11.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Schritt 4.1.2.11.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

Schritt 4.1.2.11.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

Schritt 4.1.2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

Schritt 4.1.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 \sqrt{5} - 5$ und $40$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

Schritt 4.1.2.12.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

Schritt 4.1.2.12.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

Schritt 4.1.2.12.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.12.4.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

Schritt 4.1.2.12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

Schritt 4.1.2.12.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1 - \sqrt{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1 - \sqrt{5}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $\sqrt{5}$ von $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Schreibe ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ um.

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.2

Multipliziere $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.2.2.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.3.3

Subtrahiere $\sqrt{5}$ von $- \sqrt{5}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

Schritt 4.2.2.2.4

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

Schritt 4.2.2.5.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.5.3

Vereinfache.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

Schritt 4.2.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 + 2 \sqrt{5}$ und $80$ .

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Schritt 4.2.2.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

Schritt 4.2.2.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Schritt 4.2.2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Schritt 4.2.2.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

Schritt 4.2.2.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Schritt 4.2.2.5.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Schritt 4.2.2.5.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

Schritt 4.2.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

Schritt 4.2.2.6.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

Schritt 4.2.2.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

Schritt 4.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 \sqrt{5} + 5$ und $40$ .

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Schritt 4.2.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{5}$ heraus.

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

Schritt 4.2.2.7.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

Schritt 4.2.2.7.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ heraus.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

Schritt 4.2.2.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.7.4.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

Schritt 4.2.2.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

Schritt 4.2.2.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

Schritt 5