Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 6}{x + 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 6$ und $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 4 - x - 1 \cdot 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - x - 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 4 - 1 \cdot 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{4 - 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$\frac{- 2}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 4

Werte $\frac{x + 6}{x + 4}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$\frac{(- 4) + 6}{(- 4) + 4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{(- 4) + 6}{0}$

Schritt 4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden