Analysis Beispiele

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ aus $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ aus $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ heraus.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Schritt 1.1.4.1.2

Faktorisiere $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ aus $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ heraus.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.1.3

Faktorisiere $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ aus $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ heraus.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{7}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{7}$ gleich $0$ .

$x^{7} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{7} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[7]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{7}$ um.

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 1)}^{6}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{6}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{6} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $7 x + 8 (x - 1)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $7 x + 8 (x - 1)$ gleich $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $7 x + 8 (x - 1) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $7 x + 8 (x - 1)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Addiere $7 x$ und $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$15 x = 8$

Schritt 2.5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $15 x = 8$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $15 x = 8$ durch $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Schritt 2.5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Schritt 2.5.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$0 \cdot - 1$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere ${((1) - 1)}^{7}$ mit $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{7}$

Schritt 4.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = \frac{8}{15}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{8}{15}$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{15}$ an.

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Schritt 4.3.2.2

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $15$ mit $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Schritt 4.3.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Schritt 4.3.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Schritt 4.3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Schritt 4.3.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Schritt 4.3.2.7.2

Subtrahiere $15$ von $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Schritt 4.3.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Schritt 4.3.2.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{15}$ an.

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Schritt 4.3.2.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{15}$ an.

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Schritt 4.3.2.10

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Schritt 4.3.2.11

Potenziere $7$ mit $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Schritt 4.3.2.12

Potenziere $15$ mit $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Schritt 4.3.2.13

Multipliziere $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

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Schritt 4.3.2.13.1

Mutltipliziere $\frac{16777216}{2562890625}$ mit $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Schritt 4.3.2.13.2

Mutltipliziere $16777216$ mit $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Schritt 4.3.2.13.3

Mutltipliziere $2562890625$ mit $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Schritt 5