Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte f(x)=10x^3(x-1)^2
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.1.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3.1.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.3.1.3
Schreibe als um.
Schritt 1.1.3.1.4
Schreibe als um.
Schritt 1.1.3.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.5
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.6
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.6.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.6.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.6.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.6.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.6.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.6.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.6.7
Addiere und .
Schritt 1.1.6.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.6.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.7
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.5
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.5.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.5.1.1
Bewege .
Schritt 1.1.7.5.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.5.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.7.5.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.7.5.1.3
Addiere und .
Schritt 1.1.7.5.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.7.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.7.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.6
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.5.6.1
Bewege .
Schritt 1.1.7.5.6.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.7.5.6.3
Addiere und .
Schritt 1.1.7.5.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.9
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.5.9.1
Bewege .
Schritt 1.1.7.5.9.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.7.5.9.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.7.5.9.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.7.5.9.3
Addiere und .
Schritt 1.1.7.5.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.5.13
Addiere und .
Schritt 1.1.7.5.14
Subtrahiere von .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 2.2.2.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 2.2.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 2.2.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.2.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 2.2.2.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 2.2.2.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 2.2.2.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 2.2.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.4.1
Setze gleich .
Schritt 2.4.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.4.2.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 2.4.2.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.4.2.2.3
Plus oder Minus ist .
Schritt 2.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Setze gleich .
Schritt 2.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.6
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Setze gleich .
Schritt 2.6.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Berechne bei .
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Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.2.4
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.5
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.2.2.6
Kombiniere und .
Schritt 4.2.2.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.2.8
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.2.9
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2.2.10
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.10.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.10.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.2.11
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.11.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.11.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.11.3
Kombinieren.
Schritt 4.2.2.11.4
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.12
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.12.1
Schreibe als um.
Schritt 4.2.2.12.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.2.12.3
Addiere und .
Schritt 4.2.2.13
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.13.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.2.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.4
Liste all Punkte auf.
Schritt 5