Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ aus $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ aus $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ heraus.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Schritt 1.1.4.1.2

Faktorisiere $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ aus $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ heraus.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.1.3

Faktorisiere $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ aus $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ heraus.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.4

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.5.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.5.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.5.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.7.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.7.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.7.1.2

Addiere $3$ und $2$ .

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.7.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.8

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.8.1

Bewege $x$ .

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.8.3

Addiere $1$ und $3$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Schritt 1.1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

Schritt 1.1.4.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

Schritt 1.1.4.10

Addiere $3 x$ und $4 x$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

Schritt 1.1.4.11

Multipliziere $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.2

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.2.1

Bewege $x$ .

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 1.1.4.12.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.2.3

Addiere $1$ und $5$ .

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.5.1

Bewege $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.4.12.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.5.3

Addiere $1$ und $4$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.9.1

Bewege $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.12.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.9.3

Addiere $1$ und $3$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.1.4.12.10

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1.1.4.13

Subtrahiere $14 x^{5}$ von $- 4 x^{5}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1.1.4.14

Addiere $8 x^{4}$ und $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $7 x^{6}$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 18 x^{5}$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $15 x^{4}$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.1.7

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ heraus.

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

Schritt 2.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

Schritt 2.2.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.3.6

Subtrahiere $18$ von $7$ .

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 2.2.2.3.7

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$- 11 + 15 - 4$

Schritt 2.2.2.3.8

Addiere $- 11$ und $15$ .

$4 - 4$

Schritt 2.2.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 2.2.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

Schritt 2.2.2.5

Dividiere $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

Schritt 2.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

Schritt 2.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{3} - 7 x^{2}$

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Schritt 2.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 11 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Schritt 2.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Schritt 2.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 11 x^{2} + 11 x$

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 2.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

Schritt 2.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 2.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 2.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 2.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 4$

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Schritt 2.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Schritt 2.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$7 x^{2} - 11 x + 4$

Schritt 2.2.2.6

Schreibe $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.3.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 4$ plus $- 7$

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.3.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 4$ .

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.4.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Schritt 2.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

Schritt 2.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Setze $7 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $7 x - 4$ gleich $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $7 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 4$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 4$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 4$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$0 {(- 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 \cdot - 1$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 {((1) - 1)}^{3}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere ${((1) - 1)}^{3}$ mit $1$ .

${((1) - 1)}^{3}$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{3}$

Schritt 4.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = \frac{4}{7}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{4}{7}$ .

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{7}$ an.

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $7$ mit $4$ .

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

Schritt 4.3.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Schritt 4.3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Schritt 4.3.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

Schritt 4.3.2.7.2

Subtrahiere $7$ von $4$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

Schritt 4.3.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

Schritt 4.3.2.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{7}$ an.

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

Schritt 4.3.2.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Schritt 4.3.2.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Schritt 4.3.2.11

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

Schritt 4.3.2.12

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

Schritt 4.3.2.13

Multipliziere $\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.13.1

Mutltipliziere $\frac{256}{2401}$ mit $\frac{27}{343}$ .

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

Schritt 4.3.2.13.2

Mutltipliziere $256$ mit $27$ .

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

Schritt 4.3.2.13.3

Mutltipliziere $2401$ mit $343$ .

$- \frac{6912}{823543}$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

Schritt 5