Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{108}{x}$ nach $x$ gleich $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 108$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{108}{x^{2}}$ in den Zähler.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 108 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $108$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 108$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $108$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 108 = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 108$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

Schritt 2.4.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 108$ heraus.

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

Schritt 2.4.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ heraus.

$4 (x^{3} - 27) = 0$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Schritt 2.4.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.4.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.4.3.4.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.4.3.4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Schritt 2.4.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Schritt 2.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 2.4.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.4.6

Setze $x^{2} + 3 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.1

Setze $x^{2} + 3 x + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 2.4.6.2

Löse $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 2.4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 2.4.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.4.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.4.6.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 2.4.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.4.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 2.4.6.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{108}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 + \frac{108}{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

Dividiere $108$ durch $3$ .

$18 + 36$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $18$ und $36$ .

$54$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

Schritt 4.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(3, 54)$

Schritt 5