Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$6 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x^{2} - 20 x - 6$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 20 x - 6$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 20 x - 6$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 20 x - 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} - 20 x - 6$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$2 (3 x^{2}) - 20 x - 6 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 20 x$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) - 6 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- 3) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ heraus.

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 3) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 10 x - 3$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} - 10 x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 10$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $100$ und $36$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $136$ als $2^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $136$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $100$ und $36$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $136$ als $2^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $136$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.3

Addiere $100$ und $36$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $136$ als $2^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $136$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}, \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ .

$2 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ an.

$2 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2 \frac{5^{3} + 3 \cdot 5^{2} \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 5^{2} \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 25 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.5

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 4.1.2.1.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{1} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34 + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.6

Mutltipliziere $15$ mit $34$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.7

Schreibe ${\sqrt{34}}^{3}$ als $\sqrt{34^{3}}$ um.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{34^{3}}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.8

Potenziere $34$ mit $3$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{39304}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.9

Schreibe $39304$ als $34^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 4.1.2.1.4.9.1

Faktorisiere $1156$ aus $39304$ heraus.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{1156 (34)}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.9.2

Schreibe $1156$ als $34^{2}$ um.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{34^{2} \cdot 34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.5

Addiere $125$ und $510$ .

$2 \frac{635 + 75 \sqrt{34} + 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.6

Addiere $75 \sqrt{34}$ und $34 \sqrt{34}$ .

$2 \frac{635 + 109 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{635 + 109 \sqrt{34}}{27}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ an.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{2}}{3^{2}} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.10

Schreibe ${(5 + \sqrt{34})}^{2}$ als $(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})$ um.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.11

Multipliziere $(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 (5 + \sqrt{34}) + \sqrt{34} (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \cdot 5 + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.12.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \cdot 5 + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{34}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \cdot \sqrt{34} + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34 \cdot 34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.1.4

Mutltipliziere $34$ mit $34$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{1156}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.1.5

Schreibe $1156$ als $34^{2}$ um.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34^{2}}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + 34}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.2

Addiere $25$ und $34$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.12.3

Addiere $5 \sqrt{34}$ und $5 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 + 10 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.13

Kombiniere $- 10$ und $\frac{59 + 10 \sqrt{34}}{9}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} + \frac{- 10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.15.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} + 3 (- 2) \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} + 3 \cdot - 2 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 2 (5 + \sqrt{34}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 2 \cdot 5 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.1.17

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.2

Um $- \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 635 + 2 (109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $635$ .

$\frac{1270 + 2 (109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.3

Mutltipliziere $109$ mit $2$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 10 \cdot 59 - 10 (10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $59$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 590 - 10 (10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 10$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 590 - 100 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 590 \cdot 3 - 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.8

Mutltipliziere $- 590$ mit $3$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 1770 - 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 100$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 1770 - 300 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.10

Subtrahiere $1770$ von $1270$ .

$\frac{- 500 + 218 \sqrt{34} - 300 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.5.11

Subtrahiere $300 \sqrt{34}$ von $218 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.6

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} - 10 \cdot \frac{27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $- 10$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 10 \cdot 27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34} - 10 \cdot 27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $27$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34} - 270}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.8.3

Subtrahiere $270$ von $- 500$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.1.2.9

Um $- 2 \sqrt{34}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} - 2 \sqrt{34} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Schritt 4.1.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.10.1

Kombiniere $- 2 \sqrt{34}$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Schritt 4.1.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34} - 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Schritt 4.1.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 2$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34} - 54 \sqrt{34}}{27} + 1$

Schritt 4.1.2.11.2

Subtrahiere $54 \sqrt{34}$ von $- 82 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34}}{27} + 1$

Schritt 4.1.2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.2.12.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34}}{27} + \frac{27}{27}$

Schritt 4.1.2.12.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.12.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34} + 27}{27}$

Schritt 4.1.2.12.2.2

Addiere $- 770$ und $27$ .

$\frac{- 743 - 136 \sqrt{34}}{27}$

Schritt 4.1.2.12.3

Schreibe $- 743$ als $- 1 (743)$ um.

$\frac{- 1 (743) - 136 \sqrt{34}}{27}$

Schritt 4.1.2.12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 136 \sqrt{34}$ heraus.

$\frac{- 1 (743) - (136 \sqrt{34})}{27}$

Schritt 4.1.2.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (743) - (136 \sqrt{34})$ heraus.

$\frac{- 1 (743 + 136 \sqrt{34})}{27}$

Schritt 4.1.2.12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{743 + 136 \sqrt{34}}{27}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ .

$2 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ an.

$2 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2 \frac{5^{3} + 3 \cdot 5^{2} (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 5^{2} (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 25 (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$2 \frac{125 + 75 (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $75$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{34}$ an.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{34}}^{2}) + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 (1 {\sqrt{34}}^{2}) + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.8

Mutltipliziere ${\sqrt{34}}^{2}$ mit $1$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {\sqrt{34}}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.9

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{1} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.9.5

Berechne den Exponenten.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34 + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.10

Mutltipliziere $15$ mit $34$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{34}$ an.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.13

Schreibe ${\sqrt{34}}^{3}$ als $\sqrt{34^{3}}$ um.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{34^{3}}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.14

Potenziere $34$ mit $3$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{39304}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.15

Schreibe $39304$ als $34^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.15.1

Faktorisiere $1156$ aus $39304$ heraus.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{1156 (34)}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.15.2

Schreibe $1156$ als $34^{2}$ um.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{34^{2} \cdot 34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - (34 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.17

Mutltipliziere $34$ mit $- 1$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $125$ und $510$ .

$2 \frac{635 - 75 \sqrt{34} - 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.6

Subtrahiere $34 \sqrt{34}$ von $- 75 \sqrt{34}$ .

$2 \frac{635 - 109 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{635 - 109 \sqrt{34}}{27}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ an.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{2}}{3^{2}} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.10

Schreibe ${(5 - \sqrt{34})}^{2}$ als $(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})$ um.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.11

Multipliziere $(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 (5 - \sqrt{34}) - \sqrt{34} (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.12.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.4

Multipliziere $- \sqrt{34} (- \sqrt{34})$ .

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Schritt 4.2.2.1.12.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 1 \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.4.3

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.4.4

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1 + 1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.5

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 4.2.2.1.12.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{2}{2}}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.12.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{2}{2}}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.2

Addiere $25$ und $34$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.12.3

Subtrahiere $5 \sqrt{34}$ von $- 5 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 - 10 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.13

Kombiniere $- 10$ und $\frac{59 - 10 \sqrt{34}}{9}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} + \frac{- 10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.15.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} + 3 (- 2) \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} + 3 \cdot - 2 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Schritt 4.2.2.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 2 (5 - \sqrt{34}) + 1$

Schritt 4.2.2.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{34}) + 1$

Schritt 4.2.2.1.17

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 10 - 2 (- \sqrt{34}) + 1$

Schritt 4.2.2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.2

Um $- \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 635 + 2 (- 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $635$ .

$\frac{1270 + 2 (- 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.3

Mutltipliziere $- 109$ mit $2$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 10 \cdot 59 - 10 (- 10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $59$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 590 - 10 (- 10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 10$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 590 + 100 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 590 \cdot 3 + 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.8

Mutltipliziere $- 590$ mit $3$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 1770 + 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.9

Mutltipliziere $3$ mit $100$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 1770 + 300 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.10

Subtrahiere $1770$ von $1270$ .

$\frac{- 500 - 218 \sqrt{34} + 300 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.5.11

Addiere $- 218 \sqrt{34}$ und $300 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.6

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} - 10 \cdot \frac{27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.7

Kombiniere $- 10$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 10 \cdot 27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34} - 10 \cdot 27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.8.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $27$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34} - 270}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.8.3

Subtrahiere $270$ von $- 500$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Schritt 4.2.2.9

Um $2 \sqrt{34}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + 2 \sqrt{34} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.10.1

Kombiniere $2 \sqrt{34}$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34} + 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34} + 54 \sqrt{34}}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.11.2

Addiere $82 \sqrt{34}$ und $54 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34}}{27} + 1$

Schritt 4.2.2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.2.12.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34}}{27} + \frac{27}{27}$

Schritt 4.2.2.12.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.12.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34} + 27}{27}$

Schritt 4.2.2.12.2.2

Addiere $- 770$ und $27$ .

$\frac{- 743 + 136 \sqrt{34}}{27}$

Schritt 4.2.2.12.3

Schreibe $- 743$ als $- 1 (743)$ um.

$\frac{- 1 (743) + 136 \sqrt{34}}{27}$

Schritt 4.2.2.12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $136 \sqrt{34}$ heraus.

$\frac{- 1 (743) - (- 136 \sqrt{34})}{27}$

Schritt 4.2.2.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (743) - (- 136 \sqrt{34})$ heraus.

$\frac{- 1 (743 - 136 \sqrt{34})}{27}$

Schritt 4.2.2.12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{743 - 136 \sqrt{34}}{27}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{5 + \sqrt{34}}{3}, - \frac{743 + 136 \sqrt{34}}{27}), (\frac{5 - \sqrt{34}}{3}, - \frac{743 - 136 \sqrt{34}}{27})$

Schritt 5