Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $12 x^{2} + 6 x - 6$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2} + 6 x - 6$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ heraus.

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ heraus.

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Schritt 4.1.2.2.3

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Schritt 4.1.2.2.6

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 4.1.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Schritt 4.1.2.4.2

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

Schritt 4.1.2.4.3

Subtrahiere $12$ von $5$ .

$\frac{- 7 + 4}{4}$

Schritt 4.1.2.4.4

Addiere $- 7$ und $4$ .

$\frac{- 3}{4}$

Schritt 4.1.2.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 4 + 3 + 6 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 4$ und $3$ .

$- 1 + 6 + 1$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$5 + 1$

Schritt 4.2.2.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$6$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

Schritt 5