Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{3}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$21 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$21 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$21 x^{2} - 12 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $21 x^{2} - 12 x$ und $0$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 12 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $21 x^{2} - 12 x$ .

$21 x^{2} - 12 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $21 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$21 x^{2} - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $21 x^{2} - 12 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $21 x^{2}$ heraus.

$3 x (7 x) - 12 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$3 x (7 x) + 3 x (- 4) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (7 x) + 3 x (- 4)$ heraus.

$3 x (7 x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$7 x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $7 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $7 x - 4$ gleich $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $7 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 4$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 4$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 4$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (7 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{4}{7}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$7 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$7 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{4}{7}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{4}{7}$ .

$7 {(\frac{4}{7})}^{3} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{7}$ an.

$7 \frac{4^{3}}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$7 \frac{64}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$7 (\frac{64}{343}) - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Faktorisiere $7$ aus $343$ heraus.

$7 \frac{64}{7 (49)} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{64}{7 \cdot 49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{7}$ an.

$\frac{64}{49} - 6 \frac{4^{2}}{7^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{16}{7^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 (\frac{16}{49}) + 1$

Schritt 4.2.2.1.8

Multipliziere $- 6 (\frac{16}{49})$ .

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Schritt 4.2.2.1.8.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{16}{49}$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 6 \cdot 16}{49} + 1$

Schritt 4.2.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $16$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 96}{49} + 1$

Schritt 4.2.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{64}{49} - \frac{96}{49} + 1$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{64 - 96}{49}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $64$ .

$1 + \frac{- 32}{49}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{32}{49}$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{49}{49} - \frac{32}{49}$

Schritt 4.2.2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{49 - 32}{49}$

Schritt 4.2.2.2.2.5

Subtrahiere $32$ von $49$ .

$\frac{17}{49}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 1), (\frac{4}{7}, \frac{17}{49})$

Schritt 5