Analysis Beispiele

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.9

Mutltipliziere ${(4 - x)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus $x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus $x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ heraus.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

Schritt 1.1.4.1.2

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus ${(4 - x)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

Schritt 1.1.4.1.3

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus ${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ heraus.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe ${(4 - x)}^{2}$ als $(4 - x) (4 - x)$ um.

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.4

Multipliziere $(4 - x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.5.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.7.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.7.4.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.7.8.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.7.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.7.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.4.8

Subtrahiere $32 x$ von $- 64 x$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.4.9

Addiere $32 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 96 x$ heraus.

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 24 x) + 4 (16)$ heraus.

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ heraus.

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Schritt 2.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ heraus.

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Stelle die Terme um.

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 2.2.3.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.6

Addiere $- 1$ und $9$ .

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.7

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$8 - 24 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.8

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$- 16 + 16$

Schritt 2.2.3.1.3.9

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 2.2.3.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

Schritt 2.2.3.1.5

Dividiere $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.2.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Schritt 2.2.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

Schritt 2.2.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.2.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.2.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Schritt 2.2.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Schritt 2.2.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Schritt 2.2.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 2.2.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{2} - 8 x$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 2.2.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

Schritt 2.2.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Schritt 2.2.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Schritt 2.2.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Schritt 2.2.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x + 16$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 2.2.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

Schritt 2.2.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + 8 x - 16$

Schritt 2.2.3.1.6

Schreibe $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 2.2.4.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

Schritt 2.2.4.1.1.2

Schreibe $8$ um als $4$ plus $4$

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

Schritt 2.2.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

Schritt 2.2.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 4$ .

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2.5.4

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2.5.5

Entferne die Klammern.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.5.6

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Schritt 2.2.5.7

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Schritt 2.2.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

Schritt 2.2.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 2.2.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 1, 4$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x {(4 - x)}^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere ${(4 - (1))}^{3}$ mit $1$ .

${(4 - (1))}^{3}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(4 - 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$3^{3}$

Schritt 4.1.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 {(4 - 4)}^{3}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$4 \cdot 0^{3}$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 27), (4, 0)$

Schritt 5