Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.8.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ .

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Schritt 1.1.8.4.2.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.4.2.2

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.8.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.8.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.8.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Schritt 1.1.8.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.2.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.2.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.2.3

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 1$

Schritt 4

Werte $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Schritt 4.1.2.3.2

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

Schritt 4.3.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 5