Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.1.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 1.1.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

Schritt 1.1.10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

Schritt 1.1.10.3

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ als ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.3.3.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.3.3.4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.3.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 1$

Schritt 4

Werte ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{1}$

Schritt 4.1.2.3

Berechne den Exponenten.

$- 1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{1}$

Schritt 4.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{1}$

Schritt 4.3.2.3

Berechne den Exponenten.

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Schritt 5