Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[5]{x - 5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.10

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${(5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}$ als ${(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ neu zu schreiben.

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ an.

$5^{5} {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$3125 {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ durch $3125$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ durch $3125$ .

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Schritt 3.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3125$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Schritt 3.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x - 5)}^{4}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{4} = \frac{0}{3125}$

Schritt 3.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3125$ .

${(x - 5)}^{4} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Werte $\sqrt[5]{x - 5}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\sqrt[5]{(5) - 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\sqrt[5]{0}$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$\sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(5, 0)$

Schritt 5