Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ als ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 1.1.10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Schritt 1.1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.1.13.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ um.

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.13.2

Mutltipliziere $2 x - 2$ mit $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.13.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.1.13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.13.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.13.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ als ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $x (x - 2)$ an.

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3.4

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.4.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.3.3.4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0, x = 2$

Schritt 4

Werte $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Schritt 4.1.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 4.1.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$- 1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.2.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.3.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Schritt 5