Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte f(x)=x^(2/3)(x^2-4)
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.2.4
Addiere und .
Schritt 1.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1
Bewege .
Schritt 1.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.3.3
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.3.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.3.5
Addiere und .
Schritt 1.1.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.6
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.7
Kombiniere und .
Schritt 1.1.8
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.11
Kombiniere und .
Schritt 1.1.12
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.13
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.13.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.13.2
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.13.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.1.13.2.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.13.2.3
Bringe in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.13.2.4
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.13.2.4.1
Bewege .
Schritt 1.1.13.2.4.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.13.2.4.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2.4.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.13.2.4.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.13.2.4.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.13.2.4.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2.4.6.2
Addiere und .
Schritt 1.1.13.2.5
Kombiniere und .
Schritt 1.1.13.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.13.2.8
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2.9
Kombiniere und .
Schritt 1.1.13.2.10
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.13.2.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.13.2.12
Addiere und .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
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Schritt 2.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Schritt 2.2.3
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 2.2.4
Da keine Teiler außer und hat.
ist eine Primzahl
Schritt 2.2.5
Die Zahl ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.
Nicht prim
Schritt 2.2.6
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.
Schritt 2.2.7
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 2.2.8
Das kgV von ist der numerische Teil multipliziert mit dem variablen Teil.
Schritt 2.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
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Schritt 2.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.3.2.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.3.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3.2.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.3.1
Bewege .
Schritt 2.3.2.1.3.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.3.2.1.3.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.2.1.3.4
Addiere und .
Schritt 2.3.2.1.3.5
Dividiere durch .
Schritt 2.3.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 2.3.2.1.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Löse die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.4.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.4.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.4.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.4.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 2.4.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.4.4
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.4.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.4.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.4.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 3.1.2
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 3.1.3
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 3.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.
Schritt 3.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.1.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 4.2.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.3.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2.3.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.3.4
Subtrahiere von .
Schritt 4.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3.2.3.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3.2.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.4
Liste all Punkte auf.
Schritt 5