Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{20}{21}} - x^{\frac{41}{21}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{20}{21}} - x^{\frac{41}{21}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{20}{21}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{20}{21}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{20}{21}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{20}{21}$ .

$\frac{20}{21} x^{\frac{20}{21} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{21}{21}$ .

$\frac{20}{21} x^{\frac{20}{21} - 1 \cdot \frac{21}{21}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{21}{21}$ .

$\frac{20}{21} x^{\frac{20}{21} + \frac{- 1 \cdot 21}{21}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{21} x^{\frac{20 - 1 \cdot 21}{21}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $21$ .

$\frac{20}{21} x^{\frac{20 - 21}{21}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $21$ von $20$ .

$\frac{20}{21} x^{\frac{- 1}{21}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{41}{21}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{41}{21}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{41}{21}}]$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{41}{21}}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{41}{21}$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - (\frac{41}{21} x^{\frac{41}{21} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{21}{21}$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - (\frac{41}{21} x^{\frac{41}{21} - 1 \cdot \frac{21}{21}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{21}{21}$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - (\frac{41}{21} x^{\frac{41}{21} + \frac{- 1 \cdot 21}{21}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - (\frac{41}{21} x^{\frac{41 - 1 \cdot 21}{21}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $21$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - (\frac{41}{21} x^{\frac{41 - 21}{21}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $21$ von $41$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - (\frac{41}{21} x^{\frac{20}{21}})$

Schritt 1.1.3.7

Kombiniere $\frac{41}{21}$ und $x^{\frac{20}{21}}$ .

$\frac{20}{21} x^{- \frac{1}{21}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{21} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{20}{21}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{21}}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$ .

$\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$21 x^{\frac{1}{21}}, 21, 1$

Schritt 2.2.2

Da $21 x^{\frac{1}{21}}, 21, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $21, 21, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{1}{21}}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

$21$ hat Faktoren von $3$ und $7$ .

$3 \cdot 7$

Schritt 2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.6

Das kgV von $21, 21, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3 \cdot 7$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$21$

Schritt 2.2.8

Das kgV von $x^{\frac{1}{21}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{21}}$

Schritt 2.2.9

Das kgV von $21 x^{\frac{1}{21}}, 21, 1$ ist der numerische Teil $21$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$21 x^{\frac{1}{21}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} = 0$ mit $21 x^{\frac{1}{21}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} = 0$ mit $21 x^{\frac{1}{21}}$ .

$\frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} (21 x^{\frac{1}{21}}) - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$21 \frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} x^{\frac{1}{21}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$21 \frac{20}{21 x^{\frac{1}{21}}} x^{\frac{1}{21}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{x^{\frac{1}{21}}} x^{\frac{1}{21}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{21}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{x^{\frac{1}{21}}} x^{\frac{1}{21}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$20 - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$ in den Zähler.

$20 + \frac{- 41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Faktorisiere $21$ aus $21 x^{\frac{1}{21}}$ heraus.

$20 + \frac{- 41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 (x^{\frac{1}{21}})) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 + \frac{- 41 x^{\frac{20}{21}}}{21} (21 x^{\frac{1}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$20 - 41 x^{\frac{20}{21}} x^{\frac{1}{21}} = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.5

Multipliziere $x^{\frac{20}{21}}$ mit $x^{\frac{1}{21}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Bewege $x^{\frac{1}{21}}$ .

$20 - 41 (x^{\frac{1}{21}} x^{\frac{20}{21}}) = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 - 41 x^{\frac{1}{21} + \frac{20}{21}} = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 - 41 x^{\frac{1 + 20}{21}} = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.5.4

Addiere $1$ und $20$ .

$20 - 41 x^{\frac{21}{21}} = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.5.5

Dividiere $21$ durch $21$ .

$20 - 41 x^{1} = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.2.1.6

Vereinfache $- 41 x^{1}$ .

$20 - 41 x = 0 (21 x^{\frac{1}{21}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (21 x^{\frac{1}{21}})$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $21$ mit $0$ .

$20 - 41 x = 0 x^{\frac{1}{21}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{21}}$ .

$20 - 41 x = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 41 x = - 20$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 41 x = - 20$ durch $- 41$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 41 x = - 20$ durch $- 41$ .

$\frac{- 41 x}{- 41} = \frac{- 20}{- 41}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 41$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 41 x}{- 41} = \frac{- 20}{- 41}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 41}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{20}{41}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{20}{21 \sqrt[21]{x^{1}}} - \frac{41 x^{\frac{20}{21}}}{21}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{20}{21 \sqrt[21]{x^{1}}} - \frac{41 \sqrt[21]{x^{20}}}{21}$

Schritt 3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{20}{21 \sqrt[21]{x}} - \frac{41 \sqrt[21]{x^{20}}}{21}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{20}{21 \sqrt[21]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$21 \sqrt[21]{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $21$ . Potenz.

${(21 \sqrt[21]{x})}^{21} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[21]{x}$ als $x^{\frac{1}{21}}$ neu zu schreiben.

${(21 x^{\frac{1}{21}})}^{21} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(21 x^{\frac{1}{21}})}^{21}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $21 x^{\frac{1}{21}}$ an.

$21^{21} {(x^{\frac{1}{21}})}^{21} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $21$ mit $21$ .

$5842587018385980000000000000 {(x^{\frac{1}{21}})}^{21} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{21}})}^{21}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5842587018385980000000000000 x^{\frac{1}{21} \cdot 21} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5842587018385980000000000000 x^{\frac{1}{21} \cdot 21} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5842587018385980000000000000 x^{1} = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$5842587018385980000000000000 x = 0^{21}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5842587018385980000000000000 x = 0$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $5842587018385980000000000000 x = 0$ durch $5842587018385980000000000000$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5842587018385980000000000000 x = 0$ durch $5842587018385980000000000000$ .

$\frac{5842587018385980000000000000 x}{5842587018385980000000000000} = \frac{0}{5842587018385980000000000000}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5842587018385980000000000000$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5842587018385980000000000000 x}{5842587018385980000000000000} = \frac{0}{5842587018385980000000000000}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{5842587018385980000000000000}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $5842587018385980000000000000$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{\frac{20}{21}} - x^{\frac{41}{21}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{20}{41}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{20}{41}$ .

${(\frac{20}{41})}^{\frac{20}{21}} - {(\frac{20}{41})}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{20}{41}$ an.

$\frac{20^{\frac{20}{21}}}{41^{\frac{20}{21}}} - {(\frac{20}{41})}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{20}{41}$ an.

$\frac{20^{\frac{20}{21}}}{41^{\frac{20}{21}}} - \frac{20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.2

Um $\frac{20^{\frac{20}{21}}}{41^{\frac{20}{21}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{21}{21}}}$ .

$\frac{20^{\frac{20}{21}}}{41^{\frac{20}{21}}} \cdot \frac{41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{21}{21}}} - \frac{20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $41^{\frac{41}{21}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{20^{\frac{20}{21}}}{41^{\frac{20}{21}}}$ mit $\frac{41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{21}{21}}}$ .

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}}} - \frac{20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Multipliziere $41^{\frac{20}{21}}$ mit $41^{\frac{21}{21}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{20}{21} + \frac{21}{21}}} - \frac{20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{20 + 21}{21}}} - \frac{20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Addiere $20$ und $21$ .

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}} - \frac{20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}} - 20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 4.1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{\frac{21}{21}} - 20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41^{1} - 20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{20^{\frac{20}{21}} \cdot 41 - 20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.1.2.5.2

Bringe $41$ auf die linke Seite von $20^{\frac{20}{21}}$ .

$\frac{41 \cdot 20^{\frac{20}{21}} - 20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{20}{21}} - {(0)}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{21}$ um.

${(0^{21})}^{\frac{20}{21}} - {(0)}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{21 (\frac{20}{21})} - {(0)}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{21 (\frac{20}{21})} - {(0)}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{20} - {(0)}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - {(0)}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2.1.5

Schreibe $0$ als $0^{21}$ um.

$0 - {(0^{21})}^{\frac{41}{21}}$

Schritt 4.2.2.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 0^{21 (\frac{41}{21})}$

Schritt 4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 0^{21 (\frac{41}{21})}$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 0^{41}$

Schritt 4.2.2.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 0$

Schritt 4.2.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{20}{41}, \frac{41 \cdot 20^{\frac{20}{21}} - 20^{\frac{41}{21}}}{41^{\frac{41}{21}}}), (0, 0)$

Schritt 5