Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.3.9

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.6

Das kgV von $3, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 2.2.7

Das kgV von $x^{\frac{1}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.8

Das kgV von $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$5 x^{1} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache $5 x^{1}$ .

$5 x + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x + 10 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$5 x + 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x + 10 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 10$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 10$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 10$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10}{5}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $5$ .

$x = - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{5} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.5

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$0 + 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 5 \cdot 0$

Schritt 4.2.2.1.9

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, {(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Schritt 5